Question

18．已知命题p：x²-ax-a+$\frac{5}{4}$≥0对任意的x∈R恒成立；命题q：关于x的不等式x²+2x+a＜0有实数解． 若命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数 a的取值范围．

Answer 1

分析 若p为 真，则${△_1}={（{-a}）^2}-4（{\frac{5}{4}-a}）={a^2}+4a-5≤0$，解出a的范围．若q为 真，不等式x²+2x+a＜0有解，△₂＞0，解得a范围．由命题p∨q为真，p∧q为假，可得p，q，一真一假．

解答 解：若p为 真，则${△_1}={（{-a}）^2}-4（{\frac{5}{4}-a}）={a^2}+4a-5≤0$，解得-5≤a≤1．
若q为 真，不等式x²+2x+a＜0有解，△₂=4-4a＞0，解得a＜1．
∵命题p∨q为真，p∧q为假，∴p，q，一真一假．
（1）p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}-5≤a≤1\\ a≥1\end{array}\right.$，∴a=1．
（2）若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}a＜-5或a＞1\\ a＜1\end{array}\right.$，∴a＜-5，
综上，a的取值范围是{a|a＜-5或a=1}．

点评 本题考查了不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．