Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，P是椭圆C上的一个动点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P在第一象限，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$≤$\frac{1}{4}$，求点P的横坐标的取值范围；
（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆经过点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设P（x，y），则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（3x²-8）$≤\frac{1}{4}$，由此能求出点P的横坐标的取值范围．
（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2\sqrt{3}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）∵c=$\sqrt{3}$，F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}，0$），设P（x，y），
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}-x，-y$）•（$\sqrt{3}-x，-y$）=x²+y²-3，
∵$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-3=${x}^{2}+1-\frac{{x}^{2}}{4}-3$=$\frac{1}{4}$（3x²-8）$≤\frac{1}{4}$，
解得-$\frac{2\sqrt{6}}{3}≤x≤\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵点P在第一象限，∴x＞0，
∴0＜x＜$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴点P的横坐标的取值范围是（0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]．
（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，
A、B、O三点共线，不符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
由△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，解得${k}^{2}＞\frac{3}{4}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∵∠AOB=90°，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=$\frac{4（4-{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$=0，
解得k²=4，满足k²＞$\frac{3}{4}$，
解得k=2或k=-2，
∴直线l的斜率k的值为-2或2．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查点的横坐标的取值范围的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用．