Question

5．函数f（x）=e^ax-$\frac{1}{a}$lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 令f（x）=0得e^ax=$\frac{1}{a}lnx$，根据y=e^ax与y=$\frac{1}{a}lnx$互为反函数可知两图象关于y=x对称，故当a取得最大值时，y=x与两函数相切．利用导数的几何意义求出a的最大值即可．

解答 解：令f（x）=0得e^ax=$\frac{1}{a}lnx$，
∵a＞0，∴e^a＞1，
∵y=e^ax与y=$\frac{1}{a}lnx$互为反函数，
∴y=e^ax与y=$\frac{1}{a}lnx$的函数图象关于直线y=x对称，
∴当y=x与y=$\frac{1}{a}lnx$相切时，f（x）恰好有一个零点，不妨设切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a{x}_{0}}=1}\\{{y}_{0}={x}_{0}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{a}ln{x}_{0}}\end{array}\right.$，解得x₀=y₀=e，a=$\frac{1}{e}$．
∴当a$＞\frac{1}{e}$时，y=e^ax与y=$\frac{1}{a}lnx$的函数图象没有交点，当0$＜a＜\frac{1}{e}$时，y=e^ax与y=$\frac{1}{a}lnx$的函数图象有两个交点．
故答案为（0，$\frac{1}{e}$]．

点评 本题考查了函数的性质，函数零点的个数与函数图象的关系，属于中档题．