Question

6．求函数f（x）=m（sinx+cosx）+sin2x（x∈R）的最大值．

Answer 1

分析 换元法，设t=sinx+cosx，由三角函数知识可得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，且sin2x=t²-1，可得f（x）=m（sinx+cosx）+sin2x=mt+t²-1，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：设t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
∴sin2x=t²-1，
∴f（x）=m（sinx+cosx）+sin2x=mt+t²-1=（t-$\frac{m}{2}$）²-$\frac{1}{4}{m}^{2}$-1，
当$\frac{m}{2}$≤0时，即m≤0时，此时f（x）_max=f（$\sqrt{2}$）=1+$\sqrt{2}$m，
当$\frac{m}{2}$＞0时，即m＞0时，此时f（x）_max=f（-$\sqrt{2}$）=1-$\sqrt{2}$m，
故f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{1+\sqrt{2}m，m≤0}\\{1-\sqrt{2}m，n＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查三角函数的值域，涉及换元法和三角函数的值域以及二次函数区间的最值，属中档题．