Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{{2b-\sqrt{3}c}}{{\sqrt{3}a}}=\frac{cosC}{cosA}$．
（I）求角A的值；
（Ⅱ）若角B=$\frac{π}{6}$，BC边上的中线AM=$\sqrt{7}$，求边b．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理将边化角，根据和角公式化简解出cosA．
（Ⅱ）由已知可求a=b，C=$\frac{2π}{3}$，在△ACM中，由余弦定理可解得b的值．

解答 解：（I）在△ABC中，∵$\frac{{2b-\sqrt{3}c}}{{\sqrt{3}a}}=\frac{cosC}{cosA}$，
∴（2b-$\sqrt{3}$c）cosA=$\sqrt{3}$acosC，
∴2sinBcosA=$\sqrt{3}$sinAcosC+$\sqrt{3}$sinCcosA=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵A=B=$\frac{π}{6}$，
∴a=b，C=π-B-A=$\frac{2π}{3}$，
∵BC边上的中线AM=$\sqrt{7}$，
∴在△ACM中，由余弦定理可得：AM²=AC²+CM²-2AC•CM•cosC，即：7=b²+（$\frac{1}{2}b$）²-2×b×$\frac{b}{2}$×cos$\frac{2π}{3}$，
∴整理解得：b=2．

点评 本题考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．