Question

【题目】已知， ．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）记表示m，n中的最大值，若，且函数恰有三个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），当时，的单减区间为；当时，的单减区间为和，单增区间为．（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）对求导，得到，然后分和，分别要求的正负，从而得到的单调区间；（Ⅱ）分和进行讨论，当时，可知证明至多有两个零点，不合题意，当时，先得出关于对称，所以要有3个零点，则必须在上取到2个零点，得到关于的不等式组，解出的范围，得到答案.

解：（Ⅰ）的定义域为R，

．

①当时，，所以的单减区间为；

②当时，令，得，

令，得，

综上得，当时，的单减区间为；

当时，的单减区间为和，单增区间为．

（Ⅱ），

的唯一一个零点是，∴，

由（1）可得：（ⅰ）当时，的单减区间为，

此时至多有两个零点，不符合题意

（ⅱ）当时，令，

则的图象关于点对称，

即的图象关于中心对称，

注意到在上恒正，

要有3个零点，则必须在上取到2个零点，

如图，

∴极大值，且

则有

，

综上，．