Question

12．定义在R上的函数f（x）对任意的实数a、b、c，都有：f（a+b）+f（b+c）+f（a+c）≥3f（a+2b+c），则f（2014）-f（2013）的值为0．

Answer 1

分析 由题意可得a，b，c为任意实数，可对a，b，c赋值，可得f（0）=f（1）=f（2），归纳出f（2014）=f（2013）=f（0），即可得到结论．

解答 解：对任意的实数a、b、c，都有：f（a+b）+f（b+c）+f（a+c）≥3f（a+2b+c），
令a=1，b=c=0，可得f（1）+f（0）+f（1）≥3f（1），即为f（0）≥f（1）；
令b=-1，a=c=1，可得f（0）+f（0）+f（2）≥3f（0），即为f（2）≥f（0）；
令a=-1，b=c=1，可得f（0）+f（2）+f（0）≥3f（2），即为f（0）≥f（2）；
可得f（0）=f（2），
令b=1，a=c=0，可得f（1）+f（1）+f（0）≥3f（2）=3f（0），即为f（1）≥f（0）；
则f（0）=f（1）．
即为f（0）=f（1）=f（2），
由于a，b，c为任意的实数，可得f（0）=f（1）=f（2）=f（3）=…=f（2013）=f（2014），
则f（2014）-f（2013）=0．
故答案为：0．

点评 本题考查抽象函数的运用，主要考查赋值法的运用，正确赋值和运用a≥b，且b≥a，则a=b，是解题的关键．