Question

5．已知圆C：x²+y²-4x-14y+45=0，及点Q（-2，3）．
（1）P（a，a+1）在圆上，求直线PQ的斜率；
（2）若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）求$\frac{y-3}{x+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）把点代入，即可求出a的值，再根据斜率公式计算即可；
（2）求出圆心坐标和半径，结合图形即可求出最值；
（3）$\frac{y-3}{x+2}$的几何意义是圆上一点M（x，y）与A（-2，3）连线的斜率，则当直线kx-y-2k+3=0与圆C相切时有最值．

解答 解：（1）∵点P（a，a+1）在圆上，
∴a²+（a+1）²-4a-14（a+1）+45=0，
∴a=4，P（4，5），
∴K_PQ=$\frac{3-5}{-2-4}=\frac{1}{3}$，
（2）∵圆心坐标C为（2，7），$r=2\sqrt{2}$
∴$|QC|=\sqrt{{{（2+2）}^2}+{{（7-3）}^2}}=4\sqrt{2}$，
∴$|MQ{|_{max}}=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，
$|MQ|min=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
（3）设点（-2，3）的直线l的方程为：y-3=k（x+2），即kx-y-2k+3=0，
易知直线l与圆方程相切时，k有最值，
∴$\frac{|-2k-7-2k+3|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$，
∴$k=-2±\sqrt{3}$
∴$k=\frac{y-3}{x+2}$的最大值为$-2+\sqrt{3}$，最小值为$-2-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线与圆，点与圆的位置关系，点在圆外时d-r≤|MQ|≤d+r，从而求最值，直线与圆相切时有最值，属于中档题．