Question

7．定义域在R上的奇函数f（x），满足F（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），且在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函数，给出下列关于的判断：
①f（x）是周期函数，且周期为2；
②f（x）关于点（1，0）对称；
③f（x）在[0，1]上是减函数；
④f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函数；
⑤f（$\frac{7}{6}$）=f（$\frac{11}{6}$）．
其中正确的序号是①②⑤．

Answer 1

分析 由已知的等式可得函数的对称轴方程，进一步变形可得函数的周期和对称中心，再结合在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函数，奇函数在对称区间上具有相同的单调性逐一分析五个命题得答案．

解答 解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），且在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函数．
对于①，由f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x），得f（x+1）=f（-x）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=-f[-f（x）]=f（x），
∴f（x）是周期函数，且周期为2．故①正确；
对于②，由①知f（x+2）=f（x），∴f（x+1）=f（x-1），由奇函数得f（x+1）=-f（1-x），
则f（x）关于点（1，0）对称．故②正确；
对于③，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函数，则在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函数．故③错误；
对于④，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，0]上是增函数，则在[0，$\frac{1}{2}$]上是增函数，∴f（x）在[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]上为增函数，
又由f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x）知，f（x）关于直线x=$\frac{1}{2}$对称，∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是减函数．故④错误；
对于⑤，f（$\frac{7}{6}$）=f（-$\frac{5}{6}$）=-f（$\frac{5}{6}$），f（$\frac{11}{6}$）=f（-$\frac{1}{6}$）=-f（$\frac{1}{6}$），由f（x+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$-x）可得$f（\frac{5}{6}）=f（\frac{1}{6}）$．
∴f（$\frac{7}{6}$）=f（$\frac{11}{6}$）．故⑤正确．
∴正确命题的序号是①②⑤．
故答案为：①②⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了与抽象函数有关的函数的性质，考查灵活变形能力，属于中高档题．