题目内容
15．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P（1，$\frac{1}{2}$）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（-5，0）作一直线l交椭圆C于M、N两点，记$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，线段MN上的点R满足$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，求点R的轨迹方程．
分析 （1）利用圆的方程相减即可得出两圆相交的交点所在的直线的方程，进而得出椭圆的焦点、顶点，再利用椭圆的性质即可得出方程；
（2）由题意知，设方程为x=ty-5），M（x1，y1），N（x2，y2），R（x0，y0）．把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，即可得出坐标之间的关系，$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，消去λ及k即可得出结论．
解答 解：（1）设点P（1，$\frac{1}{2}$），O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为：（x-$\frac{1}{2}$）2+（y-$\frac{1}{4}$）2=$\frac{5}{16}$
与方程x2+y2=1相减得x+$\frac{1}{2}$y=1．
令x=0，得y=2；令y=0，得x=1．
∴焦点为（1，0），上顶点为（0，2）．
∴c=1，b=2．a2=b2+c2=5．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设方程为x=ty-5，M（x1，y1），N（x2，y2），R（x0，y0）．
代入椭圆方程得（5+4t2）y2-40ty+80=0．
由题意△=（-40t）2-320（5+4t2）＞0，即t2＞5，
∴y1+y2=$\frac{40t}{5+4{t}^{2}}$，y1y2=$\frac{80}{5+4{t}^{2}}$①
由$\overrightarrow{MQ}$=λ$\overrightarrow{QN}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-λ{x}_{2}-5（1+λ）}\\{{y}_{1}=-λ{y}_{2}}\end{array}\right.$，
代入①整理可得$\frac{（1-λ）^{2}}{λ}$=-$\frac{20{t}^{2}}{5+4{t}^{2}}$且x2=$\frac{40{t}^{2}}{（1-λ）（5+4{t}^{2}）}-5$②
由$\overrightarrow{MR}$=-λ$\overrightarrow{RN}$，得x0=$\frac{-2λ{x}_{2}-5-5λ}{1-λ}$，y0=$\frac{-2λ}{1-λ}{y}_{2}$
由①②得x0=-1，y0=$\frac{4}{t}$∈（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
∴R的轨迹方程为x=-1（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$＜y＜$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．
如图，为了测定对岸A、B两点之间的距离，在河的一岸定一条基线CD，测得CD=100米，∠ACD=80°，∠BCD=45°，∠BDC=70°，∠ADC=33°，求A、B间的距离．| A． | 0 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
| A． | {-2，-1，1} | B． | {-1，1，2} | C． | {-1} | D． | {1} |
| A． | （1，4） | B． | （-1，1） | C． | （1，+∞） | D． | （-1，+∞） |