题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率
．（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由题目给出的条件直接列关于a，b，c的方程组求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标，设出椭圆上的动点Q，由直线方程的两点式写出直线QA1，QA2的方程，取y=0后得到OS和OT的长度，结合点Q在椭圆上整体化简运算可证出|OS|•|OT|为定值；
（3）假设存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，由点M在椭圆上得到关于m和n的关系式，由点到直线的距离公式求出原点O到直线的距离，由圆中的半径，半弦长和弦心距之间的关系求出弦长，写出△OAB的面积后利用基本不等式求面积的最大值，利用不等式中等号成立的条件得到关于m和n的另一关系式，联立后可求解M的坐标．
解答：解：（1）由题意：
，解得：
所以椭圆C：
；
（2）由（1）可知
，设Q（x，y），
直线QA1：
，令y=0，得
；
直线QA2：
，令y=0，得
；
则
，
而
，所以
，
所以
；
（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则
，即
．
设圆心到直线l的距离为d，则
，且
．
所以
．
所以
．
因为
，所以
，所以
．
所以
．
当且仅当
，即
时，S△OAB取得最大值
．
由
，解得
．
所以
或
或
或
．
所以存在点M满足题意，点M的坐标为
或
．
此时△OAB的面积为
．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．
（2）由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标，设出椭圆上的动点Q，由直线方程的两点式写出直线QA1，QA2的方程，取y=0后得到OS和OT的长度，结合点Q在椭圆上整体化简运算可证出|OS|•|OT|为定值；
（3）假设存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，由点M在椭圆上得到关于m和n的关系式，由点到直线的距离公式求出原点O到直线的距离，由圆中的半径，半弦长和弦心距之间的关系求出弦长，写出△OAB的面积后利用基本不等式求面积的最大值，利用不等式中等号成立的条件得到关于m和n的另一关系式，联立后可求解M的坐标．解答：解：（1）由题意：
，解得：
所以椭圆C：
；（2）由（1）可知
，设Q（x，y），直线QA1：
，令y=0，得
； 直线QA2：
，令y=0，得
；则
，而
，所以
，所以
；（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则
，即
．设圆心到直线l的距离为d，则
，且
．所以
．所以
．因为
，所以
，所以
．所以
．当且仅当
，即
时，S△OAB取得最大值
．由
，解得
．所以
或
或
或
．所以存在点M满足题意，点M的坐标为
或
．此时△OAB的面积为
．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．
练习册系列答案
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