题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由题目给出的条件直接列关于a，b，c的方程组求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标，设出椭圆上的动点Q，由直线方程的两点式写出直线QA1，QA2的方程，取y=0后得到OS和OT的长度，结合点Q在椭圆上整体化简运算可证出|OS|•|OT|为定值；
（3）假设存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，由点M在椭圆上得到关于m和n的关系式，由点到直线的距离公式求出原点O到直线的距离，由圆中的半径，半弦长和弦心距之间的关系求出弦长，写出△OAB的面积后利用基本不等式求面积的最大值，利用不等式中等号成立的条件得到关于m和n的另一关系式，联立后可求解M的坐标．
解答：解：（1）由题意：，解得：
所以椭圆C：；
（2）由（1）可知，设Q（x，y），
直线QA1：，令y=0，得；     
直线QA2：，令y=0，得；
则，
而，所以，
所以；
（3）假设存在点M（m，n）满足题意，则，即．
设圆心到直线l的距离为d，则，且．
所以．
所以．
因为，所以，所以．
所以．
当且仅当，即时，S△OAB取得最大值．
由，解得．
所以或或或．
所以存在点M满足题意，点M的坐标为
或．
此时△OAB的面积为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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