Question

18．三角形三个顶点是A（4，0）B（6，7）C（0，3）．
（1）求BC边的垂直平分线方程；
（2）求A的内角平分线方程．

Answer 1

分析 （1）利用斜率计算公式、中点坐标公式可得k_BC，线段BC的中点M，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．
（2）k₁=k_AB=$\frac{7-0}{6-4}$=$\frac{7}{2}$，k₂=k_AC=$\frac{0-3}{4-0}$=-$\frac{3}{4}$．设A的内角平分线的斜率为k，可得$\frac{\frac{7}{2}-k}{1+\frac{7}{2}k}$=$\frac{k+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}k}$，解出k即可得出．

解答 解：（1）k_BC=$\frac{7-3}{6-0}$=$\frac{2}{3}$，线段BC的中点M（3，5），
∴BC边的垂直平分线方程为：y-5=-$\frac{3}{2}$（x-3），化为：3x+2y-19=0．
（2）k₁=k_AB=$\frac{7-0}{6-4}$=$\frac{7}{2}$，k₂=k_AC=$\frac{0-3}{4-0}$=-$\frac{3}{4}$．
设A的内角平分线的斜率为k，则$\frac{\frac{7}{2}-k}{1+\frac{7}{2}k}$=$\frac{k+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}k}$，∴11k²+29k-11=0，解得k=$\frac{-29±5\sqrt{53}}{22}$．
∴A的内角平分线方程为：y=$\frac{5\sqrt{53}-29}{22}$（x-4），即（3$\sqrt{53}$+35）x+（4$\sqrt{53}$-10）y-（140+2$\sqrt{53}$）=0．

点评 本题考查了斜率计算公式、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、斜截式、角平分线的性质、到角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．