Question

已知函数（为常数），其图象是曲线．

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 (1)当时， .  

令f ¢(x)<0，解得，所以f(x)的单调减区间为．

 (2) ，由题意知消去，

得有唯一解．

令，则，

所以在区间，上是增函数，在上是减函数，

又，，

故实数的取值范围是． 

(3)设，则点处切线方程为，

与曲线：联立方程组，得，即，

所以点的横坐标．

由题意知，，，

若存在常数，使得，则，

即存在常数，使得，

所以解得，． 

故时，存在常数，使；时，不存在常数，使．