题目内容

已知向量
p
=(cosα-5，-sinα)，
q
=(sinα-5，cosα)，
p
∥
q
，且α∈（0，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求2sin2(
α
2
+
π
6
)-sin(α+
π
6
)．
考点：二倍角的正切,平行向量与共线向量,同角三角函数间的基本关系,两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的求值
分析：（1）由两向量坐标，以及两向量平行的条件列出关系式，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，进而求出tanα的值，再利用二倍角的正切函数公式即可求出tan2α的值；
（2）原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后将cosα的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）∵
p
=（cosα-5，-sinα），
q
=（sinα-5，cosα），
p
∥
q
，
∴（cosα-5）cosα-（sinα-5）（-sinα）=0，
整理得：sinα+cosα=
1
5
＞0，
∵α∈（0，π），∴α∈（
π
2
，π），
∴sinα-cosα=
2-(sinα+cosα)2
=
7
5
，
解得：sinα=
4
5
，cosα=-
3
5
，
∴tanα=-
4
3
，
则tan2α=
2tanα
1-tan2α
=
24
7
；
（2）∵cosα=-
3
5
，
∴原式=1-cos（α+
π
3
）-sin（α+
π
6
）=1-
1
2
cosα+
3
2
sinα-
3
2
sinα-
1
2
cosα=1-cosα=
8
5
．
点评：此题考查了二倍角的正切函数公式，共线向量与平行向量，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
下列说法中，错误的个数是（　　）
①一条直线与一个点就能确定一个平面   
②若直线a∥b，b?平面α，则a∥α
③若函数y=f（x）定义域内存在x=x0满足f'（x0）=0，则x=x0必定是y=f（x）的极值点
④函数的极大值就是最大值．
A、1个B、2个C、3个D、4个
已知函数f（x）=
ax+1+bx+1
ax+bx
，a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）当a≠b时，利用（1）中的结论，证明不等式：
2
1
a
+
1
b
＜
ab
＜
a+b
2
＜
a2+b2
a+b
．
设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量
a
=(mx，y+1)，向量
b
=(x，y-1)，
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为E．求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=
6
，点E是棱PB的中点．
（Ⅰ）求证：直线AD∥平面PBC；
（Ⅱ） 求直线AD与平面PBC的距离；
（Ⅲ）若AD=3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．
在长方体中ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=2，点E是棱DD1的中点，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角，又过A1、C1、E三点的平面再截去长方体的另一个角得到如图所示的几何体ABCD-A1C1E
（1）若直线BC1与平面A1C1CA所成角的正弦值为
10
10
，求棱AA1的长．
（2）在（1）的前提下，求二面角E-A1C1-B的余弦值．
如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=
1
3
GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为
8
3
．
（1）求二面角P-BC-D的正切值；
（2）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点M(
2
，1)，离心率为
2
2
．
（1）求椭圆C的方程：
（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1•k2最大时，求直线l的方程．
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求平面BAA1与平面CAA1的夹角的余弦值．

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