题目内容

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量
a
=(mx，y+1)，向量
b
=(x，y-1)，
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为E．求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状．
考点：轨迹方程
专题：向量与圆锥曲线
分析：直接由向量垂直的坐标表示得到动点M（x，y）的轨迹为E，然后对m分类讨论曲线的形状．
解答： 解：∵向量
a
=(mx，y+1)，向量
b
=(x，y-1)，
由
a
⊥
b
，得
a
•
b
=mx2+y2-1=0，即mx2+y2=1．
当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；
当m=1时，方程表示的是圆，方程为x2+y2=1；
当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；
当m＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．
点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了向量垂直的坐标表示，考查了圆锥曲线的定义，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知A，B，C是单位圆O上任意的不同三点，若
OA
=2
OB
+x
OC
，则正实数x的取值范围为（　　）
A、（0，2]
B、[1，3]
C、[2，4]
D、[3，5]
如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=
1
2
AD．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出E的位置并证明；若不存在请说明理由；
【理】（3）求二面角A-PD-C的余弦值．
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB=AB=1，PA=2．
（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；
（Ⅱ）求面PBD与面AEF所成锐角的余弦值．
如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=
2
AB，E是SA的中点．
（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．
如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE，F为PC上一点，且CF=2FP．
（Ⅰ） 求证：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）若PE=
3
AE，求二面角F-BE-C的大小．
已知向量
p
=(cosα-5，-sinα)，
q
=(sinα-5，cosα)，
p
∥
q
，且α∈（0，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求2sin2(
α
2
+
π
6
)-sin(α+
π
6
)．
已知a＞0且a≠1，函数f（x）=ax+a-x（x∈[-1，1]），g（x）=ax2-2ax+4-a（x∈[-1，1]）．
（1）求f（x）的单调区间和值域；
（2）若对于任意x1∈[-1，1]，总存在x0∈[-1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围；
（3）若对于任意x0∈[-1，1]，任意x1∈[-1，1]，都有g（x0）≥f（x1）恒成立，求a的取值范围．
（1）求函数f(x)=(x-1)0+2
x-1
+
1
3-x
的定义域；
（2）若函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，求函数y=f(x+
1
4
)•f(x-
1
4
)的定义域；
（3）求函数y=
x2-x
x2-x+1
的值域．

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