Question

5．在极坐标系中，已知圆C的极坐标方程为ρ²-2$\sqrt{2}ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）+1=0$，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程并写出圆心坐标和半径；
（Ⅱ）若$θ∈（{0，\frac{π}{3}}]$，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=2+tsinθ}\end{array}}$（t为参数），点P的直角坐标为（2，2），直线l交圆C于A，B两点，求$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）展开两角差的余弦，结合公式ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程我直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；
（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的一般方程，利用根与系数的关系求出t₁+t₂=-2（sinθ+cosθ），t₁t₂=-1，化为关于θ的三角函数求解．

解答 解：（Ⅰ）由ρ²-2$\sqrt{2}ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）+1=0$，得${ρ}^{2}-2\sqrt{2}ρcosθcos\frac{π}{4}-2\sqrt{2}ρsinθsin\frac{π}{4}+1=0$，
即x²+y²-2x-2y+1=0，化为标准方程，得（x-1）²+（y-1）²=1．
∴圆C的圆心坐标为（1，1），半径为1；
（Ⅱ）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=2+tsinθ}\end{array}}$代入x²+y²-2x-2y+1=0，
化简得：t²+2（sinθ+cosθ）t+1=0，
△=4（1+sin2θ）-4=4sin2θ＞0在$θ∈（{0，\frac{π}{3}}]$时恒成立，
且t₁+t₂=-2（sinθ+cosθ），t₁t₂=-1，
∴$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}=\frac{1}{{2（{sinθ+cosθ}）}}=\frac{1}{{2\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）}}$，
∵$θ∈（{0，\frac{π}{3}}]$，∴$θ+\frac{π}{4}∈（{\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}}]$，
∴$2\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）∈（{2，2\sqrt{2}}]$，
∴$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了参数方程化普通方程，关键是掌握直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题．