Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：
（1）MN∥平面PAB
（2）AM⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．
（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．

解答 证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，
所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，
所以AB∥DC．所以MN∥AB，
又AB?平面PAB，MN?平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AM?平面PAD，所以CD⊥AM．
因为CD、PD?平面PCD，CD∩PD=D，
∴AM⊥平面PCD．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．