Question

3．已知函数f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）写出函数f（x）的定义域，判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设可得$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，即可写出函数f（x）的定义域，利用奇函数的定义判断f（x）奇偶性；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，不等式f（x）＞0，化为0＜1+x＜1-x，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题设可得$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，故函数f（x）定义域为（-1，1）
从而：f（-x）=log_a[1+（-x）]-log_a[1-（-x）]=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
故f（x）为奇函数．
（Ⅱ）由题设可得log_a（1+x）-log_a（1-x）＞0，即：log_a（1+x）＞log_a（1-x），
∵0＜a＜1，∴y=log_ax为（0，+∞）上的减函数，∴0＜1+x＜1-x，解得：-1＜x＜0
故不等式f（x）＞0的解集为（-1，0）．

点评 本题考查对数函数的性质，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．