Question

9．已知三棱锥S-ABC，底面△ABC为边长为2的正三角形，侧棱SA=SC=$\sqrt{2}$，SB=2
（1）求证：AC⊥SB；
（2）A点到平面SBC的距离．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点为O，只需证SO⊥AC，OB⊥AC，即可得到AC⊥平面SOB⇒AC⊥SB；
（2）由（1）可知，V_S-ABC=$\frac{1}{3}{s}_{△ABC}•SO=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$，S_△SBC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，由V_S-ABC=V_A-SBC，可得h．

解答 解：（1）取AC的中点为O，∵SA=SC∴SO⊥AC  AB=BC，∴OB⊥AC
又∵SO与OB相交于O，OS?平面SOB   OB?平面SOB
∴AC⊥平面SOB  又∵SB?平面SOB
∴AC⊥SB…（6分）
（2）由（1）可知，SA=SC=$\sqrt{2}$，AC=2，∴△ASC为Rt△
∴SO=1  在正三角形ABC中，OB=$\sqrt{3}$
SB=2SO²+OB²=SB²…（8分）
∴SO⊥OB∴SO⊥平面ABC
V_S-ABC=$\frac{1}{3}{s}_{△ABC}•SO=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$…（10分）
S_△SBC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$
∵V_S-ABC=V_A-SBC
，$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}×h×\frac{\sqrt{7}}{2}$，h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$…（12分）

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．