Question

等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），a₁a₃=4，且a₃+1是a₂和a₄的等差中项，若b_n=log₂a_n+1．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n+1+

1

b2n-1•b2n+1

，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等比数列的性质求出a₂，由等差中项和等比数列的通项公式求出公比q，求出a_n和b_n；
（2）由（1）和题意求出c_n，利用分组求和法、裂项相消法、等比数列的前n项和公式求出数列{c_n}的前n项和．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，且q＞0，
在等比数列{a_n}中，由a_n＞0、a₁a₂=4得，a₂=2，①
又a₃+1是a₂和a₄的等差中项，所以2（a₃+1）=a₂+a₄，②
把①代入②得，2（2q+1）=2+2q²，解得：q=2或q=0（舍去），
所以a_n=a₂q^n-2=2^n-1，
则b_n=log₂a_n+1=log₂2ⁿ=n…（4分）
（2）由（1）得，c_n=a_n+1+

1

b2n-1•b2n+1

=2n+

1

(2n-1)(2n+1)

=2n+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（6分）
所以数列{c_n}的前n项和S_n=2+2²+…+2ⁿ+

1

2

[（1-

1

3

）+(

1

3

-

1

5

)+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

2(1-2n)

1-2

+

1

2

(1-

1

2n+1

)=2n+1-2+

n

2n+1

  …（12）

点评：本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式、性质，等差中项的性质，对数的运算性质，以及数列求和的常用方法：分组求和法、裂项相消法．