Question

20．过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为-1的直线，该直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的交点分别为B，C，其中点B落在第一象限内，若x_C是x_B与x_F的等比中项，则双曲线的离心率为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，以及双曲线的渐近线方程，联立直线BC的方程和渐近线方程，可得交点B，C的横坐标，由等比数列的中项性质和离心率公式，化简即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F为（a，0），
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-a）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$解得x_B=$\frac{{a}^{2}}{a+b}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-a）}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$解得x_C=$\frac{{a}^{2}}{a-b}$，
由x_C是x_B与x_F的等比中项，可得x_Bx_F=x_C²，
即为$\frac{{a}^{3}}{a+b}$=$\frac{{a}^{4}}{（a-b）^{2}}$，即a（a+b）=（a-b）²，
化简可得b=3a，
由c²=a²+b²，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程的运用，考查直线方程联立求交点和等比数列的中项的性质，属于中档题．