Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2A+cosA=0．
（1）求∠A；
（2）若b=1，求a²+c²的最小值，并求此时△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据二倍角的余弦公式化简题中的等式，可得2cos²A+cosA-1=0，结合0＜A＜π解出cosA的值，从而可得角A的大小．
（2）由条件利用余弦定理求得a²+c²=2(c-

1

4

)2+

7

8

，利用二次函数的性质求得a²+c² 的最小值为

7

8

，此时，a=

13

4

，△ABC的面积为

1

2

•bc•sinA，计算可得结果．

解答： 解：（1）△ABC中，由cos2A+cosA=0，可得得2cos²A+cosA-1=0，
解得cosA=-1，或cosA=

1

2

，
因为A是三角形的内角，0＜A＜π，所以A=

π

3

．
（2）若b=1，由余弦定理可得a²=1+c²-c，∴a²+c²=2c²-c+1=2(c-

1

4

)2+

7

8

，
故当c=

1

4

时，a²+c² 的最小值为

7

8

，此时，a=

13

4

，△ABC的面积为

1

2

•bc•sinA=

3

16

．

点评：本题主要考查二倍角的余弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．