Question

6．根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
（1）1，1，$\frac{5}{7}$，$\frac{7}{15}$，$\frac{9}{31}$，…
（2）2，22，222，2222，…；
（3）3，0，-3，0，3，…

Answer 1

分析 （1）分析1，1=$\frac{3}{3}$，$\frac{5}{7}$，$\frac{7}{15}$，$\frac{9}{31}$，…，归纳可得a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}-1}$；
（2）注意到9=10-1，99=10²-1，999=10³-1，从而写出a_n=$\frac{2}{9}$（10ⁿ-1）；
（3）分类讨论，从而分类写出a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=4k-3，k∈N}\\{0，n为偶数}\\{-3，n=4k-1，k∈N}\end{array}\right.$．

解答 解：（1）1，1=$\frac{3}{3}$，$\frac{5}{7}$，$\frac{7}{15}$，$\frac{9}{31}$，…
故a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}-1}$；
（2）2，22，222，2222，…，
故a_n=$\frac{2}{9}$（10ⁿ-1）；
（3）3，0，-3，0，3，…，
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=4k-3，k∈N}\\{0，n为偶数}\\{-3，n=4k-1，k∈N}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的通项公式及归纳思想的应用．