Question

5．已知函数f（x）=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$（m，n为常数）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（-1）=-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（2x-1）＜-f（x）．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=$\frac{n}{0+1}$=0，求得n=0，再根据f（-1）=-$\frac{1}{2}$，求得m=1，∴f（x）得解析式．
（2）关于x的不等式即f（2x-1）＜-f（x），再根据f（x）在[-1，1]上单调递增，可得不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＜-x}\\{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤-x≤1}\end{array}\right.$，由此求得x的范围．

解答 解：（1）由于函数f（x）=$\frac{mx+n}{{x}^{2}+1}$（m，n为常数）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=$\frac{n}{0+1}$=0，∴n=0，
再根据f（-1）=$\frac{-m}{2}$=-$\frac{1}{2}$，∴m=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$．
（2）关于x的不等式f（2x-1）＜-f（x）=-f（x），
∵f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$ 在（0，1]上单调递增，∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
故由不等式可得$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＜-x}\\{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤-x≤1}\end{array}\right.$，求得0≤x＜$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集为{x|0≤x＜$\frac{1}{3}$ }．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题．