Question

20．设min$\left\{{x，y}\right\}=\left\{{\begin{array}{l}{y，x≥y}\\{x，x＜y}\end{array}}$，若定义域为R的函数f（x），g（x）满足f（x）+g（x）=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$，则min{f（x），g（x）}的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 讨论当f（x）≥g（x）时，当f（x）＜g（x）时，求得min{f（x），g（x）}，结合条件运用基本不等式，即可得到所求最大值．

解答 解：当f（x）≥g（x）时，min{f（x），g（x）}=g（x），
f（x）+g（x）=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$≥2g（x），
即g（x）≤$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
显然x＞0时，$\frac{x}{1+{x}^{2}}$有最大值，
由$\frac{x}{1+{x}^{2}}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=$\frac{1}{2}$，
可得g（x）的最大值为$\frac{1}{2}$；
当f（x）＜g（x）时，min{f（x），g（x）}=f（x），
f（x）+g（x）=$\frac{2x}{{{x^2}+1}}$＞2f（x），
即f（x）＜$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
显然x＞0时，$\frac{x}{1+{x}^{2}}$有最大值，
同上可得f（x）＜$\frac{1}{2}$．
综上可得，min{f（x），g（x）}的最大值为$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．