题目内容

已知0＜x＜1，求
1
x
+
1
1-x
的最小值．
考点：基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：把原式整理成
1
x
+
1
1-x
+x+1-x-1的形式，利用基本不等式求得其最小值．
解答： 解：∵0＜x＜1，
∴1-x＞0，
∴
1
x
+
1
1-x
=
1-x+x
x(1-x)
=
1
x(1-x)
，
∵x（1-x）≤
(1-x+x)2
4
=
1
4

∴
1
x(1-x)
≥4，
即
1
x
+
1
1-x
的最小值为4．
点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键是凑出基本不等式的形式．
练习册系列答案
相关题目
若命题“p∧q”为假，且“￢q”为假，则（　　）
A、￢p∨q为假
B、p∨q为假
C、￢p∧q为真
D、p∧￢q为真
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R），F（x）=
f(x) ， x＞0
-f(x) ， x＜0
．
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0？
（3）设g（x）=
lnx+1
ex
，当a=b=1时，证明：对任意实数x＞0，[F（x）-1]g′（x）＜1+e-2（其中g′（x）是g（x）的导函数）．
△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，E为AC边上的中点且2bcosB=ccosA+acosC．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S≥
3
3
2
，求BE的最小值．
在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其离心率为
1
2
，通径长为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F2的动直线l交椭圆于A、B两点，
（ⅰ）问在x轴上是否存在定点C，使
CA
•
CB
恒为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
（ⅱ）延长BF1交椭圆于点M，I1、I2分别为△F1BF2、△F1MF2的内心，证明四边形F1I2F2I1与△MF2B的面积的比值恒为定值，并求出这个定值．
在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，求a的值．
已知函数f（x）=2sin（2x-
π
6
）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）的值域．
在平面直角坐标系xOy中，直线 l的参数方程为
x=t+1
y=2t
（t为参数），曲线C的参数方程为
x=2tan2θ
y=2tanθ
（θ为参数）．
（Ⅰ）试求直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求直线l和曲线C的公共点的坐标．
请使用向量法证明：等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且|BD|=
1
3
|BC|，|CE|=
1
3
|CA|，AD，BE相交于点P，求证：AP⊥CP．

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