Question

9．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数，
（1）求f（x）的表达式；
（2）求g（x）在[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出导函数，再根据奇函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决，
（2）根据导数在闭区间上的应用，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx（其中常数a，b∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∴g（x）=f（x）-f′（x）=x³+ax²+bx-3x²-2ax-b，
∵g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数，
∴a-3=0，b=0，
∴f（x）=x³+3x²，
（2）∵f′（x）=3x²+6x，x∈[1，3]
∴g（x）=x³-6x，
∴g′（x）=3x²-6，
令g′（x）=3x²-6=0，解得x=$\sqrt{2}$，
当g′（x）＞0时，即$\sqrt{2}$＜x≤3，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即1≤x＜$\sqrt{2}$，函数单调递减，
∴g（x）_min=g（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$=-4$\sqrt{2}$，
∵g（1）=1-6=-5，g（3）=27-18=9，
∴g（x）_max=g（3）=9

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系以及奇函数的性质，属于中档题．