Question

11．已知函数f（x）=ax²+$\frac{2}{x}$，其中a为实数．
（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）通过讨论a的范围，判断函数的奇偶性问题；
（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=$\frac{1}{x}$，显然是奇函数；
当a≠0时，f（1）=a+1，f（-1）=a-1，f（1）≠f（-1）且f（1）+f（-1）≠0，
所以此时f（x）是非奇非偶函数．
（2）设?x₁＜x₂∈[1，2]，
则f（x₁）-f（x₂）=a（x₁-x₂）（x₁+x₂）+$\frac{2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）-$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$]，
因为x₁，x₂∈[1，2]，所以x₁-x₂＜0，2＜x₁+x₂＜4，1＜x₁x₂＜4，
所以2＜a（x₁+x₂）＜12，$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜1，$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜2，
所以a（x₁+x₂）-$\frac{2}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在[1，2]上单调递增．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，是一道中档题．