Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为

x=5cosφ y=3sinφ

(φ为参数）
（Ⅰ）求过椭圆的右焦点，且与直线

x=4-2t y=3-t

(t为参数）平行的直线l的普通方程．
（Ⅱ）求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）将椭圆化成标准方程，得

x2

25

+

y2

9

=1，算出右焦点F（4，0），再将已知直线的斜率求出，得到所求直线l的点斜式方程，化简即得直线l的普通方程．
（II）设点A（x，y）是椭圆上一点，由椭圆的对称性得矩圆C的内接矩形ABCD面积S=4|xy|，代入参数方程的数据并用二倍角三角函数公式化简得S=30sin2φ，最后结合正弦函数的最值，不难得到S的最大值．

解答：解：（I）由

x=5cosφ y=3sinφ

，消去参数得：

x2

25

+

y2

9

=1
∴椭圆表示焦点在x轴上的椭圆，且a²=25，b²=9，得c=

a2-b2

=4
由此，得椭圆的右焦点为F（4，0），
又∵已知直线的参数方程可化为普通方程：x-2y+2=0，
∴所求直线的斜率k=

1

2

，得直线方程为y=

1

2

（x-4），化简得x-2y+4=0．
（II）设点A（x，y）是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点，
∴矩形ABCD面积S=4|xy|=60sinφcosφ=30sin2φ，
∵sin2φ≤1当2φ=

π

2

时等号成立，
∴椭圆C的内接矩形ABCD面积最大为30．

点评：本题给出椭圆的参数方程，求它的焦点坐标并求内接矩形面积的最值，考查了椭圆的基本概念、直线的方程和三角函数的化简与求最值等知识，属于中档题．