题目内容
己知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，M是BC的中点且AM=2
，asinA-bsinB=（a-c）sinC，则BC+AB的最大值是 ．
| 3 |
考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数,正弦定理,余弦定理的应用
专题：解三角形
分析：通过余弦定理求出B，利用正弦定理求出BC+AB的表达式，然后求解最值即可．
解答：
解：由asinA-bsinB=（a-c）sinC，可得a2-b2=ac-c2，∴cosB=
，∴B=60°，
a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，M是BC的中点且AM=2
，
在△ABM中，设∠BAM=α，
由正弦定理可得：
=
，BC=
=8sinα．
AB=
=4sin（120°-α）
∴BC+AB=8sinα+4sin（120°-α）
=8sinα+2
cosα+2sinα
=10sinα+2
cosα
=4
sin（α+θ）．其中tanθ=
．
α∈（0°，120°），
当sin（α+θ）=1时，BC+AB的最大值为4
．
故答案为：4
．
解：由asinA-bsinB=（a-c）sinC，可得a2-b2=ac-c2，∴cosB=| 1 |
| 2 |
a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，M是BC的中点且AM=2
| 3 |
在△ABM中，设∠BAM=α，
由正弦定理可得：
| AM |
| sin60° |
| BC |
| 2sinα |
2×2
| ||||
|
AB=
| AMsin(120°-α) |
| sin60° |
∴BC+AB=8sinα+4sin（120°-α）
=8sinα+2
| 3 |
=10sinα+2
| 3 |
=4
| 7 |
| ||
| 5 |
α∈（0°，120°），
当sin（α+θ）=1时，BC+AB的最大值为4
| 7 |
故答案为：4
| 7 |
点评：本题考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．
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