Question

已知函数f（x）=

1

x•sinθ

+lnx在区间[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π）．
（1）求θ的值；
（2）已知函数g（x）=-3x-lnx+m，若在（0，+∞）上至少存在一个x₀，使得f（x₀）≤g（x₀）成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题

分析：（1）由题意得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而可化为sinθ≥1，从而sinθ=1，解出即可；
（2）要在在（0，+∞）上至少存在一个x₀，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，即f（x）-g（x）≤0在（0，+∞）上有解，设h（x）=f（x）-g（x），则等价于h（x）_min≤0．利用导数可求得h（x）_min．

解答： 解：（1）f′（x）=-

1

x2sinθ

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

xsinθ-1

x2sinθ

≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故sinθ≥1，∴sinθ=1，
由θ∈（0，π）知：θ=

π

2

．
（2）要在在（0，+∞）上至少存在一个x₀，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，即要f（x）-g（x）≤0在（0，+∞）上有解，
设h（x）=f（x）-g（x），则只要h（x）_min≤0．
∵h（x）=

1

x

+2lnx+3x-m，
则h′（x）=-

1

x2

+

2

x

+3=

3x2+2x-1

x2

=

(x+1)(3x-1)

x2

，
当0＜x＜

1

3

时，h′（x）＜0；当x＞

1

3

时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，

1

3

）上递减，在（

1

3

，+∞）递增，
∴h(x)min=h(

1

3

)=4-2ln3-m≤0，解得m≥4-2ln3．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查函数恒成立，考查转化思想，正确理解“恒成立”、“能成立”问题并合理转化是解题关键．