Question

【题目】已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数.

（1）求实数的值；

（2）若函数,对任意,恒成立.

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）（ii）证明见解析

【解析】

（1）求函数定义域,然后对函数求导,根据函数单调性,得出时,有极大值,即可算出实数的值.

（2）（i）由（1）知,,代入中,根据,整理至即对恒成立,设新函数,将原问题转化为：对恒成立,分的取值范围分类讨论即可得出实数的取值范围.（ii）要证,

转化为证证,整理至,设两个新函数,,分别对两个新函数求导,判断单调性,即可证得成立.

解：（1）的定义域为,

,

令,解得：,

令,解得：,

所以当,为增函数,当,为减函数,

所以时,有极大值,

所以;

（2）（i）由（1）知,,

则,即对恒成立,

所以对恒成立,

即对恒成立,

设,则对恒成立,

,

设,,

原问题转化为：对恒成立,

①若,当时,

则,

不合题意;

②若,则对恒成立,

符合题意

③若,则,

令,,令,,

所以当时,为减函数,

当时,为增函数,

所以,

即,即;

综上.

（ii）要证,

只需证,

即,即,

只需证,

设,,

因为

所以在上单调递减,在上单调递增,

所以：

因为恒成立,

所以在上单调递增,

所以,则,则,

由（2）可知,,所以;

所以,

即,得证.

所以 成立.