Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，.

（1）证明：平面；

（2）若是的中点，，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

(1)利用勾股定理可得与即可证明平面.

(2)根据垂直关系可以建立以为坐标原点的空间直角坐标系,再利用空间向量的方法分别求得平面的一个法向量与平面的一个法向量,再利用二面角的夹角公式求解即可.

（1）因为,所以,同理可得.

因为,所以平面.

（2）因为,所以、、两两垂直,以为坐标原点,

建立如图所示的空间直角坐标系,

因为,所以,,,,

因为是的中点,所以,

因为,,所以,

所以,.

设平面的一个法向量为,

由,得,

取,得.

取的中点,连接,易证平面,

则平面的一个法向量为.设二面角的平面角为,

由图知,所以,

所以二面角的余弦值为.