Question

（用数学归纳法证明）当n＞1，n∈N时，求证：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＞

9

10

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法证明：（1）当n=2时，证明不等式成立；（2）假设n=k（k≥2，k∈N^*）时命题成立，用上归纳假设，去证明则当n=k+1时，不等式也成立即可．

解答： 证明：（1）当n=2时，左边=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

57

60

=

19

20

＞

9

10

，不等式成立；
（2）假设n=k（k≥2，k∈N^*）时命题成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

＞

9

10

成立，
则当n=k+1时，
左边=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3(k+1)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+（

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3(k+1)

-

1

k+1

）
＞

9

10

+（3×

1

3(k+1)

-

1

k+1

）
=

9

10

，
∴当n=k+1时不等式也成立，
综上，由（1）（2）知，原不等式对?n≥2（n∈N^*）均成立．

点评：本题考查数学归纳法，考查推理证明的能力，假设n=k（k≥2，k∈N^*）时命题成立，去证明则当n=k+1时，用上归纳假设是关键，属于中档题．