Question

6．已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． [1，2）
• C． [1，2）∪（2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 直线方程与椭圆方程联立化为（m+2k²）x²+4kx+2-2m=0，由于直线y-kx-1=0与椭圆$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共点，可得△≥0，解出即可得出．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\end{array}\right.$，化为（m+2k²）x²+4kx+2-2m=0，
∵直线y-kx-1=0与椭圆$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共点，
∴△=16k²-4（m+2k²）（2-2m）≥0，
化为m²+（2k²-1）m≥0，
由于m≠0，上式化为：m≥1-2k²，
由于上式对k∈R恒成立，∴m≥1．
由椭圆的定义可知：m≠2．
综上可得m的取值范围是：[1，2）∪（2，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．