Question

1．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数f（x）=2^-|x|-a在x∈R内有两个零点，命题q：不等式|x-2|-|x+3|-4a²+12a-10＜0对一切实数x∈R恒成立，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q成立的a的范围，根据“p∨q”为真，且“p∧q”为假，则p，q一真一假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：∵命题p：函数f（x）=2^-|x|-a在x∈R内有两个零点，
即2^-|x|=a在x∈R内有两个交点，
画出函数y=2^-|x|的图象，如图示：
，
由图象得：0＜a＜1；
命题q：若不等式|x-2|-|x+3|-4a²+12a-10＜0对一切实数x∈R恒成立，
由于|x-2|-|x+3|表示数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到-3对应点的距离，
故它的最大值等于5，故有5-4a²+12a-10＜0对一切实数x∈R恒成立即可，
解得：a＞$\frac{5}{2}$或0＜a＜$\frac{1}{2}$，
如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{\frac{1}{2}≤a≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$≤a＜1，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞\frac{5}{2}或0＜a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：a＞$\frac{5}{2}$，
故a∈[$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立以及函数的零点问题，考查复合命题的判断，是一道中档题．