Question

16．关于x的不等式（ax+1）（1+x）＜0成立的一个充分而不必要条件是-2＜x＜-1，则实数a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 依题意，分类讨论，解不等式（ax+1）（x+1）＜0得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关系可得不等式，解可得答案．

解答 解：不等式（ax+1）（1+x）＜0成立的一个充分而不必要条件是-2＜x＜-1，
当a=0时，不等式为x＜-1，满足，
当a=1时，不等式的解集为空集，不满足一个充分而不必要条件是-2＜x＜-1，
因为方程（ax+1）（1+x）=0的两个根为x=-$\frac{1}{a}$或a=-1，
若一个充分而不必要条件是-2＜x＜-1，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{1}{a}＜-2}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$
综上所述a的取值范围为[0，$\frac{1}{2}$），
故答案为：[0，$\frac{1}{2}$），

点评 本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，需要分类讨论，属于中档题．