Question

1．已知双曲线$Γ：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，点A为双曲线Γ的左顶点，点M（x₁，y₁）（x₁＞0，y₁＞0）为双曲线Γ渐近线上的一点，且$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow 0，\overrightarrow{OM}，\overrightarrow{ON}$均为焦距的一半，若$∠MAN=\frac{2π}{3}$，则双曲线Γ的渐近线为（　　）

• A． $y=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$
• B． $y=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$
• C． $y=±\frac{{\sqrt{5}}}{2}x$
• D． $y=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}x$

Answer 1

分析 求出M，N的坐标，利用余弦定理建立方程，即可求出双曲线Γ的渐近线．

解答 解：由题意，A（-a，0），直线MN的方程为y=$\frac{b}{a}$x，N（-x₁，-y₁），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，∴M（a，b），N（-a，-b），
∵$∠MAN=\frac{2π}{3}$，
∴由余弦定理可得4c²=（a+a）²+b²+b²-2$\sqrt{（a+a）^{2}+{b}^{2}}•b•cos\frac{2π}{3}$，
化简可得3b²=4a²，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴双曲线Γ的渐近线为y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线Γ的渐近线，考查余弦定理的运用，正确运用余弦定理是关键．