Question

7．设集合A_n={1，2，3，…，n}（n∈N^*，n≥3），记A_n中的元素组成的非空子集为$A_i^'$（i∈N^*，i=1，2，3，…，2ⁿ-1），对于?i∈{1，2，3，…，2ⁿ-1}，$A_i^'$中的最小元素和为S_n，则S₅=（　　）

• A． 32
• B． 57
• C． 75
• D． 480

Answer 1

分析 题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．故有2^n-1个子集含1，有2^n-2个子集不含1含2，有2^n-3子集不含1，2，含3…有2^i-1个子集不含1，2，3…i-1，而含i，进而利用错位相减法求出其和．

解答 解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2^n-1次．
故有2^n-1个子集含1，有2^n-2个子集不含1含2，有2^n-3子集不含1，2，含3…有2^i-1个子集不含1，2，3…i-1，而含i．
所以S_n=2^n-1×1+2^n-2×2+…+2¹×（n-1）+n
S_n=n•1+（n-1）•2+…+2•2^n-2+1•2^n-1…①
所以2S_n=n•2+（n-1）•4+…+2•2^n-1+1•2ⁿ…②
所以①-②可得-S_n=n-（2+4+…+2^n-1+2ⁿ）
所以S_n=2ⁿ⁺¹-n-2
所以S₅=2⁶-5-2=57．
故选：B

点评 本题考查了错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．