Question

函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（　　）

• A、[1，

  5

  ]
• B、[1，2]
• C、[2，

  5

  ]
• D、[

  5

  ，3]

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：由函数的奇偶性的定义可得f（x）为偶函数，再由周期函数的定义可得f（x）为最小正周期为π的函数，再由对称性可得f（x）关于x=

π

2

对称，求出[0，

π

2

]内的值域即可．运用导数求得单调区间和极值、最值即可得到．

解答： 解：函数f（x）的定义域为R，
f（-x）=|sin（-x）|+2|cos（-x）|=|sinx|+2|cosx|=f（x），
即有f（x）为偶函数，
由f（x+π）=|sin（x+π）|+2|cos（x+π）|=|-sinx|+2|cosx|=f（x），
即有f（x）为最小正周期为π的函数，
又f（x+π）=f（x）=f（-x），
则f（x）关于x=

π

2

对称，只要考虑x∈[0，

π

2

]的值域即可．
当0≤x≤

π

2

时，f（x）=sinx+2cosx的导数为f′（x）=cosx-2sinx，f′（x）=0，解得x=arctan

1

2

，
当0≤x＜arctan

1

2

，f′（x）＞0，f（x）递增；arctan

1

2

＜x≤

π

2

时，f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=arctan

1

2

处取得极大值，也为最大值，且为

5

，
f（0）=2，f（

π

2

）=1，即f（x）最小值为1．
即值域为[1，

5

]．
故选A．

点评：本题考查三角函数的值域的求法，注意运用函数的奇偶性和周期性以及对称性，结合导数的运用，求得单调区间和极值、最值，属于中档题和易错题．