Question

已知x∈R，定义：A（x）表示不大于x的最大整数，如A（

3

）=1，A（-0.4）=-1，A（-1.1）=-2，
（1）试写出A（x）的解析式；
（2）A（2x+1）=3，则实数x的取值范围是

 

；
（3）求满足条件A²（x）+A²（y）≤1的点（x，y）所构成的平面区域的面积S．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据定义转化为数学语言即可；
（2）根据（1），所求即解不等式3≤2x+1＜4；
（3）将满足条件[x]²+[y]²≤1的点（x，y）构成的平面区域表达出来即可．

解答： 解：（1）根据定义，有
A(x)=

k k≤x＜k+1 -k -k≤x＜-k+1

    （其中k为非负整数）；
（2）根据（1），所求即解不等式3≤2x+1＜4，
解得1≤x＜

3

2

；
（3）当0≤x＜1，0≤y＜1时，[x]=0，[y]=0，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当0≤x＜1，1≤y＜2时，[x]=0，[y]=1，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当0≤x＜1，-1≤y＜0时，[x]=0，[y]=-1，满足条件[x]²+[y]²≤1；
当-1≤x＜0，0≤y＜1时，[x]=-1，[y]=0满足条件[x]²+[y]²≤1；
当1≤x＜2，0≤y＜1时，[x]=0，[y]=1满足条件[x]²+[y]²≤1；
所以满足条件[x]²+[y]²≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形，其面积为S=5．

点评：本题考查抽象函数知识及解不等式、区域面积的计算，根据函数的新定义，确定平面区域是解决本题的关键，属中档题．