Question

16．已知圆C：（x-1）²+（y+2）²=9，直线l：y=kx+1，与圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，并且OA⊥OB，求出直线l的方程．

Answer 1

分析 先设点A，B的坐标，根据OA⊥OB得到两点坐标之间的关系，然后联立直线与圆的方程消去y得到关于x的一元二次方程，再由韦达定理得到两根之和与两根之积后代入所求的关系式，即可求出k的值，从而可求得直线方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
将y=kx+1代入圆方程得：（1+k²）x²+2（3k-1）x+1=0
∴x₁+x₂=$\frac{2-6k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$
∴（1+k²）$\frac{1}{1+{k}^{2}}$+k•$\frac{2-6k}{1+{k}^{2}}$+1=0，
∴2k²-k-1=0，
∴k=1或-$\frac{1}{2}$
∴所求直线方程为y=x+1或y=-$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查基础知识的综合运用和灵活能力．