Question

4．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点为F₁，F₂，过F₁的直线与椭圆C交于A，B两点，若△ABF₂的周长是12，则椭圆C的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 运用椭圆的定义可得4a=12，解得a，再由椭圆方程可得b，求得c，运用离心率公式即可得到所求．

解答 解：由椭圆的定义可得AF₁+AF₂=BF₁+BF₂=2a，
△ABF₂的周长是12，即有4a=12，解得a=3，
由椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1$可得b=2，
即有c²=a²-b²=9-4=5，解得c=$\sqrt{5}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义和方程及性质，考查离心率的求法，以及运算能力，属于基础题．