Question

18．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点$A（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线$y=\frac{5}{3}$上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{NQ}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的焦距为2c，则c=1，利用$A（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆上，得a²=2，然后求解椭圆方程．
（2）假设存在这样的直线    设直线l的方程为y=2x+t，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$P（{x_3}，\frac{5}{3}）$，Q（x₄，y₄），MN的中点为D（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+t\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，利用韦达定理以及△＞0，提出-3＜t＜3，判断四边形PMQN为平行四边形，说明D是线段PQ的中点，推出${y_4}=\frac{2t-15}{9}$，然后推出点Q不在椭圆上．推出结论．

解答 解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则c=1，
因此椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-1}}=1（{a^2}＞1）$∵$A（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆上，
∴$\frac{1}{{2{a^2}}}+\frac{3}{{4（{{a^2}-1}）}}=1（{a^2}＞1）$解得a²=2
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）假设存在这样的直线    设直线l的方程为y=2x+t，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），$P（{x_3}，\frac{5}{3}）$，Q（x₄，y₄），MN的中点为D（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+t\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得9x²+8tx+2t²-2=0，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{8t}{9}$，且△=（8t）²-36（2t²-2）＞0，
则-3＜t＜3，${y_1}+{y_2}=2（{x_1}+{x_2}）+2t=\frac{2t}{9}$∴${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{t}{9}$
由$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{NQ}$知四边形PMQN为平行四边形，
而D为线段MN的中点，因此，D也是线段PQ的中点，
所以${y_0}=\frac{{\frac{5}{3}+{y_4}}}{2}=\frac{t}{9}$，可得${y_4}=\frac{2t-15}{9}$，
又-3＜t＜3，所以$-\frac{7}{3}＜{y_4}＜-1$，
因此点Q不在椭圆上．
所以这样的直线l不存在．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．