Question

18．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点P在圆C：x²+（y+2）²=9上，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过圆C的圆心的直线与椭圆E交于A、B两点，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圆C：x²+（y+2）²=9上，令x=0，可得P（0，1），b=1，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出椭圆E的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l的方程为：y=kx-2，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，代入$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，解出k的值即可得出．

解答 解：（1）由圆C：x²+（y+2）²=9上，令x=0，可得y=1，或-5．∴P（0，1），b=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线l的斜率不存在时，不满足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，
设直线l的方程为：y=kx-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²-16kx+12=0，
△=256k²-48（1+4k²）＞0，化为：k²$＞\frac{3}{4}$．
可得x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1，∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=1，
∴x₁x₂+（kx₁-3）（kx₂-3）=1，
化为（1+k²）x₁x₂-3k（x₁+x₂）+8=0，
∴$\frac{12（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{48{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+8=0，
化为：k²=5．满足△＞0．
∴k=$±\sqrt{5}$．
∴直线l的方程为：y=$±\sqrt{5}$x-2．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．