Question

10．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若Γ与圆E：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=1相交于M，N两点，且圆E在Γ内的弧长为$\frac{2}{3}$π．
（I）求a，b的值；
（II）过Γ的中心作两条直线AC，BD交Γ于A，C和B，D四点，设直线AC的斜率为k₁，BD的斜率为k₂，且k₁k₂=$\frac{1}{4}$．
（1）求直线AB的斜率；
（2）求四边形ABCD面积的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由圆E在Γ内的弧长为$\frac{2}{3}$π，可得该弧所对的圆心角为$\frac{2}{3}π$，可得M$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，N$（1，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得a，b．
（II）（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立，可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，利用根与系数的关系代入k₁k₂=$\frac{1}{4}$．∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，即4y₁y₂=x₁x₂，可得4k²=1，解得k．
（2）|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，点O到直线BA的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，四边形ABCD的面积S=4S_△ABO=2|AB|d，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）由圆E在Γ内的弧长为$\frac{2}{3}$π，可得该弧所对的圆心角为$\frac{2}{3}π$，可得M$（1，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，N$（1，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，
可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△=16（1+4k²-m²）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
∵k₁k₂=$\frac{1}{4}$．∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，即4y₁y₂=x₁x₂，
∴4k²=1，解得$k=±\frac{1}{2}$．
（2）|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{16（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$，
点O到直线BA的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
四边形ABCD的面积S=4S_△ABO=2|AB|d=4|m|$\sqrt{2-{m}^{2}}$≤4×$\frac{{m}^{2}+2-{m}^{2}}{2}$=4，
∵m²∈（0，2），且m²≠1，∴S∈（0，4）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．