Question

7．已知tanα=-4，求下列各式的值：
（1）sin²α；
（2）3sinαcosα；
（3）cos²α-sin²α；
（4）1-2cos²α．

Answer 1

分析 将所求式子的分母“1”变为sin²α+cos²α，然后分子分母都除以cos²α，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．

解答 解：（1）∵tanα=-4，
∴sin²α=$\frac{si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{16}{16+1}$=$\frac{16}{17}$；
（2）∵tanα=-4，
∴3sinαcosα=$\frac{3sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{3tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{3×（-4）}{（-4）^{2}+1}$=-$\frac{12}{17}$；
（3）∵tanα=-4，
∴cos²α-sin²α=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1-16}{1+16}$=-$\frac{15}{17}$；
（4）∵tanα=-4，
∴1-2cos²α=sin²α-cos²α=$\frac{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α-1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{16-1}{16+1}$=$\frac{15}{17}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．