Question

8．设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
（1）若p=2且∠BFD=90°时，求圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，设直线m与抛物线C的另一个交点为E，在y轴上求一点G，使得∠OGE=∠OGA．

Answer 1

分析 （1）求出圆的半径，从而求出圆的方程；（2）由抛物线的定义得|AD|=|FA|=$\frac{1}{2}$|AB|，从而求出m，代入抛物线进而求出G的坐标．

解答 解：（1）由已知得F（0，1），△BFD为等腰直角三角形，|BD|=4，
⊙F的半径|FB|=2$\sqrt{2}$，
∴⊙F的方程是x²+（y-1）²=8；
（2）∵A，B，F三点在同一直线m上，
∴AB是⊙F的直径，∠ADB=90°，
由抛物线的定义得|AD|=|FA|=$\frac{1}{2}$|AB|，
∴∠ABD=30°，m的斜率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
①当m的斜率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，直线m的方程是：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{p}{2}$，
代入x²=2py，x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$px-p²=0，（△＞0），
解得：x₁=$\sqrt{3}$p，x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，
不妨记A（$\sqrt{3}$p，$\frac{3}{2}$p），E（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p，$\frac{p}{6}$），并设G（0，y₀），
∵∠OGE=∠OGA，∴K_GE+K_GA=0，
即$\frac{{y}_{0}-\frac{3}{2}p}{-\sqrt{3}p}$+$\frac{{y}_{0}-\frac{p}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{3}p}$=0，解得：y₀=-$\frac{p}{2}$，
②当m的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，由图象的对称性可知G（0，-$\frac{p}{2}$），
综上，点G的坐标是（0，-$\frac{p}{2}$）．

点评 本题考查了抛物线的性质，考查图象的对称性，是一道中档题．