Question

13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，则f（log₂$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{3}$，函数f（x）的值域为（-1，1）．

Answer 1

分析 利用对数恒等式，以及函数的奇偶性的性质，求得结果．

解答 解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，
则f（log₂$\frac{1}{3}$）=f（${log}_{\frac{1}{2}}3$）=-f（-${log}_{\frac{1}{2}}3$）=-f（${log}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$）=-${（\frac{1}{2}）}^{{log}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{3}$．
由于当x＞0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，∴f（x）∈（0，1），
再根据f（x）为奇函数，可得当x＜0时，f（x）∈（-1，0）．
又f（0）=0，故函数f（x）的值域为（-1，1），
故答案为：-$\frac{1}{3}$；（-1，1）．

点评 本题主要考查对数恒等式，函数的奇偶性的应用，属于基础题．