Question

9．某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，l=2r+1（l为圆柱的高，r为球的半径，l≥2）．假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元．设该储油罐的建造费用为y千元．
（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中r的最大值（精确到0.1），并求此时储油罐的体积V（单位：立方米，精确到0.1立方米）．

Answer 1

分析 （1）求出半球与圆柱的面积，得出y关于r的函数；
（2）令y≤80，解出r的最大值，从而得出体积V的最大值．

解答 解：（1）半球的表面积${S_1}=2π{r^2}$，圆柱的表面积S₂=2πr•l．
于是$y=3×2{S_1}+1×{S_2}=3×4π{r^2}+1×2πr•（2r+1）=16π{r^2}+2πr$．
定义域为$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．
（2）16πr²+2πr≤80，即${r^2}+\frac{1}{8}r-\frac{5}{π}≤0$，解得$r≤\frac{{-\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{20}{π}}}}{2}≈1.2$．
$V=\frac{4}{3}π{r^3}+π{r^2}•（2r+1）=\frac{10}{3}π{r^3}+π{r^2}$，
经计算得V≈22.7（立方米）．
故r的最大值为1.2（米），此时储油罐的体积约为22.7立方米．

点评 本题考查了空间几何体的面积与体积计算，属于中档题．